Resuelve la ecuación cúbica x³ + 2x² + 7x + 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Prueba todas las candidatas racionales. Por el teorema de la raíz racional, las únicas posibilidades son los divisores de $4$:

   $f(1) = 14, \quad f(-1) = -2, \quad f(2) = 34, \quad f(-2) = -10, \quad f(4) = 128, \quad f(-4) = -56$

   Ninguna se anula, así que la cúbica es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y no hay factorización exacta a simple vista.

2. 2

   Acota la única raíz real. Toda cúbica tiene al menos una raíz real. El cambio de signo

   $f(-1) = -2 < 0, \qquad f(0) = 4 > 0$

   sitúa una raíz en $(-1, 0)$. Además $f'(x) = 3x^2 + 4x + 7$ tiene discriminante $16 - 84 < 0$, así que $f' > 0$ en todas partes: $f$ es estrictamente creciente y hay exactamente una raíz real.

3. 3

   Refina con el método de Newton. Iterar $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 + 2x_n^2 + 7x_n + 4}{3x_n^2 + 4x_n + 7}$ desde $x_0 = -0.7$ converge deprisa a

   $x_1 \approx -0.6535951654$

   Trabajando con 40 cifras de precisión, el residuo queda por debajo de $10^{-39}$. (Un descuido frecuente es quedarse en una estimación gruesa como $-0.6954$; allí $f = -0.2369$, no $0$.)

4. 4

   Divide para quitar la raíz real. La división sintética entre $\left(x - x_1\right)$ deja la cuadrática

   $x^2 + 1.3464048346\,x + 6.1199963094 = 0$

   con resto nulo, donde los coeficientes son $2 + x_1$ y $7 + x_1(2 + x_1)$.

5. 5

   Resuelve la cuadrática para obtener el par complejo. Su discriminante es negativo:

   $\Delta = 1.3464048346^2 - 4(6.1199963094) = -22.6671792591$

   $x = \frac{-1.3464048346 \pm i\sqrt{22.6671792591}}{2} \approx -0.6732024173 \pm 2.3805030592\,i$

6. 6

   Contrasta con las fórmulas de Vieta. Las tres raíces deben sumar $-2$ y su producto debe valer $-4$:

   $-0.6535951654 + 2(-0.6732024173) = -2.0000000000 \ \checkmark$

   $(-0.6535951654)\left(0.6732024173^2 + 2.3805030592^2\right) = -4.0000000002 \ \checkmark$

   Las dos identidades cierran, lo que confirma los cálculos con independencia de la iteración.