Resuelve x² log₂(x) < 100000000.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija primero el dominio. $\log_{2}x$ exige $x>0$, así que toda la discusión transcurre en $(0,\infty)$. Cualquier respuesta que incluya $x$ negativos o $x=0$ está mal antes incluso de empezar el análisis.

2. 2

   Trata aparte $0<x\le 1$: no cuesta nada. En $(0,1)$ se tiene $\log_{2}x<0$ mientras que $x^{2}>0$, así que el producto es negativo y desde luego queda por debajo de $10^{8}$; por ejemplo, en $x=0.5$ el miembro izquierdo vale $-0.25$. En $x=1$ vale exactamente $0$. Por tanto todo el intervalo $(0,1]$ cumple la inecuación.

3. 3

   Demuestra que el miembro izquierdo es estrictamente creciente para $x>1$. Derivando $h(x)=x^{2}\log_{2}x=\dfrac{x^{2}\ln x}{\ln 2}$ se obtiene $h'(x)=\frac{2x\ln x+x}{\ln 2}=\frac{x\left(2\ln x+1\right)}{\ln 2},$ que es positiva siempre que $\ln x>-\tfrac12$, y por tanto para todo $x>1$. Una función estrictamente creciente cruza el nivel $10^{8}$ exactamente una vez, así que el conjunto solución tiene que ser un único intervalo $(0,x_{0})$.

4. 4

   Acota el punto de cruce. Evaluando $h$: $h(2900)=96\,730\,450.73,\qquad h(2945)=99\,948\,390.39,\qquad h(2946)=100\,020\,529.48,\qquad h(3000)=103\,956\,721.07.$ El signo de $h(x)-10^{8}$ cambia entre $2945$ y $2946$, así que ahí está $x_{0}$. Este es el paso delicado: una estimación cercana a $2954$ ya se pasa de la frontera, puesto que $h(2954.5)=100\,634\,817$.

5. 5

   Bisecta hasta el cruce. Refinar el intervalo $[2945,2946]$ por bisección da $x_{0}=2945.715457.$ Comprobándolo: $x_{0}^{2}=8\,677\,239.5517$ y $\log_{2}x_{0}=11.524402364$, cuyo producto es $100\,000\,000.0000$, de modo que $x_{0}$ es realmente la raíz de $x^{2}\log_{2}x=10^{8}$.

6. 6

   Ensambla el conjunto solución. Juntando los dos regímenes, $0<x<2945.715457,$ es decir $x\in\left(0,\,2945.715457\right)$ con seis decimales. El extremo queda excluido porque la desigualdad es estricta.