Resuelve la desigualdad log en base 5 de (x − 3√x + 32) < 2 · log en base 5 de (√x + 2), e indica la menor solución entera positiva. Opciones: 17, 25, 16, 20.

Step-by-step solution

1. 1

   Establece primero el dominio, ya que los logaritmos lo restringen. La presencia de $\sqrt{x}$ obliga desde el inicio a que $x\geq 0$. Para el logaritmo de la izquierda hace falta $x-3\sqrt{x}+32>0$; sustituyendo $t=\sqrt{x}\geq 0$ esto se convierte en $t^{2}-3t+32>0$, cuyo discriminante es

   $D=(-3)^{2}-4(1)(32)=9-128=-119<0$

   Con discriminante negativo y coeficiente principal positivo, $t^{2}-3t+32$ es positivo para todo $t$, así que esto no impone nada nuevo. El logaritmo de la derecha necesita $\sqrt{x}+2>0$, que se cumple de manera automática. Por lo tanto el dominio es exactamente $x\geq 0$.

2. 2

   Incorpora el coeficiente $2$ dentro del logaritmo. Usando $k\log_{b}u=\log_{b}u^{k}$, válido porque $\sqrt{x}+2>0$:

   $2\log_{5}\left(\sqrt{x}+2\right)=\log_{5}\left(\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}\right)$

   Ahora los dos lados son un único logaritmo en base $5$.

3. 3

   Quita los logaritmos en el sentido correcto. Como la base $5>1$, $\log_{5}$ es estrictamente creciente, de modo que la desigualdad entre logaritmos equivale a la misma desigualdad entre los argumentos — sin cambio de signo:

   $x-3\sqrt{x}+32<\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}$

   Si la base estuviera entre $0$ y $1$, este paso invertiría el signo.

4. 4

   Desarrolla y observa cómo se cancelan los términos en $x$. Como $\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}=x+4\sqrt{x}+4$,

   $x-3\sqrt{x}+32<x+4\sqrt{x}+4$

   Restar $x$ en ambos lados elimina por completo la parte cuadrática en $\sqrt{x}$ y deja una desigualdad lineal en $\sqrt{x}$:

   $-3\sqrt{x}+32<4\sqrt{x}+4\ \Longrightarrow\ 28<7\sqrt{x}\ \Longrightarrow\ \sqrt{x}>4$

5. 5

   Eleva al cuadrado con seguridad e interseca con el dominio. Los dos lados de $\sqrt{x}>4$ son no negativos, así que elevar al cuadrado conserva la desigualdad:

   $x>16$

   Esto ya queda dentro del dominio $x\geq 0$, de modo que el conjunto solución es $(16,+\infty)$.

6. 6

   Elige el menor entero positivo y compruébalo. El entero más pequeño estrictamente mayor que $16$ es $17$, que es la opción 1. La sustitución directa confirma que la frontera es estricta: en $x=16$ los dos lados valen $\log_{5}(36)$ y $\log_{5}(36)$, iguales y por lo tanto no es solución, mientras que en $x=17$ el lado izquierdo es $\log_{5}(36.63)$ y el derecho $\log_{5}(37.49)$, así que la desigualdad se cumple. Al probar $x=0,1,4,9,16$ todos fallan y $16.5,17,25$ pasan, lo que concuerda con $x>16$.