Simplifica E = (x + 2)³ + (x − 2)³ + x³ − 3x(x + 2)(x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla los dos cubos con la fórmula del binomio. Usando $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ con $b = 2$:

   $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

   $(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

   Los términos de potencia impar conservan su patrón de signos, y eso es lo que hace que el paso siguiente se colapse.

2. 2

   Suma los dos cubos: los términos de potencia par se cancelan.

   $(x+2)^3 + (x-2)^3 = 2x^3 + 24x$

   Los términos $\pm 6x^2$ se cancelan, y también las constantes $\pm 8$, porque ocupan posiciones pares e impares con signos opuestos.

3. 3

   Simplifica el término del producto con la diferencia de cuadrados. Ocúpate primero del par entre paréntesis:

   $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

   de modo que

   $-3x(x+2)(x-2) = -3x(x^2 - 4) = -3x^3 + 12x$

   Distribuir el $-3x$ sobre los dos términos (incluido el $-4$) es donde más se pierde un signo.

4. 4

   Reúnelo todo. Junta las tres piezas:

   $E = (2x^3 + 24x) + x^3 + (-3x^3 + 12x)$

   Columna cúbica: $2x^3 + x^3 - 3x^3 = 0$. Columna lineal: $24x + 12x = 36x$. No queda ningún término en $x^2$ ni constante.

5. 5

   Escribe y comprueba el resultado.

   $E = 36x$

   Comprobación numérica en $x = 1$: $27 + (-1) + 1 - 3(3)(-1) = 27 - 1 + 1 + 9 = 36 = 36 \cdot 1$. En $x = 2$: $64 + 0 + 8 - 6(4)(0) = 72 = 36 \cdot 2$. Ambas confirman el resultado lineal.