Resuelve la inecuación (x − 1)(x − 3) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Aprovecha que la expresión ya está factorizada. Un producto de números reales es positivo exactamente cuando ambos factores comparten signo, así que en lugar de desarrollar solo necesitas saber dónde cambia de signo cada factor.

2. 2

   Halla los puntos críticos. Igualando cada factor a cero:

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   Estos dos valores cortan la recta numérica en tres intervalos de prueba: $(-\infty,1)$, $(1,3)$ y $(3,\infty)$.

3. 3

   Arma la tabla de signos. Toma un valor de prueba en cada intervalo y anota el signo de cada factor:

   intervalo	$x-1$	$x-3$	producto
   $(-\infty,1)$, p. ej. $x=0$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$, p. ej. $x=2$	$+$	$-$	$-$
   $(3,\infty)$, p. ej. $x=4$	$+$	$+$	$+$

   Los valores de prueba dan $(0-1)(0-3)=3$, $(2-1)(2-3)=-1$ y $(4-1)(4-3)=3$, lo que confirma la última columna.

4. 4

   Elige los intervalos que cumplen la desigualdad. Necesitas el producto mayor que cero, así que toma las dos filas con $+$:

   $x<1\quad\text{o}\quad x>3$

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   Decide qué hacer con los extremos. La desigualdad es estricta ($>0$, no $\ge 0$), y en $x=1$ y $x=3$ el producto vale $0$. Por eso ambas raíces quedan excluidas y los intervalos son abiertos:

   $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   Contrasta con la parábola. Al desarrollar queda $y=x^{2}-4x+3$, una parábola hacia arriba con vértice en $x=2$, $y=-1$. Una parábola hacia arriba queda por encima del eje fuera de sus raíces: exactamente la respuesta obtenida.