Resolver x/(x + 5) − 25/(x² + 25) = 0.

Step-by-step solution

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   Anotar primero el dominio. El denominador $x^{2}+25$ no se anula nunca para $x$ real, así que el único valor excluido es $x=-5$, procedente de la primera fracción. Cualquier raíz candidata igual a $-5$ tendría que rechazarse.

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   Pasar una fracción al otro lado y multiplicar en cruz. La ecuación dice que las dos fracciones son iguales:

   $\frac{x}{x+5}=\frac{25}{x^{2}+25}\quad\Longrightarrow\quad x\left(x^{2}+25\right)=25(x+5)$

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   Desarrollar y observar cómo se cancelan los términos centrales.

   $x^{3}+25x=25x+125\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=125$

   El $25x$ de cada lado se cancela por completo, y eso convierte una cúbica aparentemente incómoda en una simple raíz cúbica.

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   Extraer la raíz cúbica real.

   $x=\sqrt[3]{125}=5$

   En los reales esta es la única solución; la cúbica $x^{3}-125=(x-5)\left(x^{2}+5x+25\right)$ tiene un factor cuadrático cuyo discriminante vale $25-100=-75<0$, así que las otras dos raíces son complejas.

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   Comprobar contra la ecuación original y contra el dominio. $x=5\neq -5$, de modo que es admisible, y

   $\frac{5}{10}-\frac{25}{50}=0.5-0.5=0\ \checkmark$

   $\boxed{x=5}$

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   Cuidado con la lectura equivocada más habitual. Si el segundo denominador fuera $x^{2}-25$ en lugar de $x^{2}+25$, el problema sería completamente distinto: $x^{2}-25$ se factoriza como $(x+5)(x-5)$ y aporta un segundo valor excluido, $x=5$, que entonces habría que rechazar. Conviene confirmar siempre el signo dentro del denominador antes de quitar las fracciones.