Resuelve la desigualdad 3/(x − 1) − 1 ≥ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Anota primero la restricción del dominio. El denominador $x-1$ no puede ser cero, así que $x \neq 1$. Ese valor jamás puede formar parte de la respuesta, sin importar lo que produzca el álgebra.

2. 2

   Resiste la tentación de multiplicar en cruz. Multiplicar ambos miembros por $x-1$ exigiría conocer su signo, y $x-1$ es negativo para $x<1$ y positivo para $x>1$. La vía segura es reunir todo en un lado y analizar un único cociente.

3. 3

   Pasa todos los términos a la izquierda y combínalos. Al sumar $1$ en ambos miembros queda $\dfrac{3}{x-1} \ge 3$, de modo que $\frac{3}{x-1}-3 \ge 0 \Longrightarrow \frac{3-3(x-1)}{x-1} \ge 0 \Longrightarrow \frac{6-3x}{x-1} \ge 0.$

4. 4

   Saca factor común el negativo e invierte la desigualdad una sola vez, de forma deliberada. $6-3x = -3(x-2)$, y dividir ambos miembros entre la constante $-3$ invierte el sentido: $\frac{x-2}{x-1} \le 0.$ Ahora se tiene un cociente limpio de dos factores lineales.

5. 5

   Construye la tabla de signos con los valores críticos 1 y 2. Para $x=0$: $\tfrac{-2}{-1}=2>0$, excluido. Para $x=1.5$: $\tfrac{-0.5}{0.5}=-1<0$, incluido. Para $x=3$: $\tfrac{1}{2}>0$, excluido. Así que solo funciona el intervalo central.

6. 6

   Decide los extremos. $x=2$ anula el numerador, y el $\le 0$ admite el cero, así que $x=2$ está incluido. $x=1$ anula el denominador y queda excluido por el dominio. Por lo tanto $1 < x \le 2, \qquad x \in (1,2].$ Comprobación: en $x=2$, $\tfrac{3}{1}-1=2$, que cumple $\ge 2$ con igualdad.