Resuelve la inecuación 1 − x/3 ≤ 1 − 2x/7 y representa el conjunto solución en la recta numérica.

Step-by-step solution

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   Cancela la constante que aparece en los dos miembros. Restar $1$ en cada miembro es legítimo en una desigualdad (sumar o restar nunca cambia el sentido) y elimina de golpe las constantes: $-\frac{x}{3}\le-\frac{2x}{7}.$ Quitar primero los denominadores también funcionaría, pero cancelar el $1$ mantiene los números más pequeños.

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   Reúne los términos en $x$ en un solo miembro. Suma $\dfrac{2x}{7}$ en ambos miembros: $-\frac{x}{3}+\frac{2x}{7}\le 0.$ Agruparlos a la izquierda y no a la derecha evita un cambio de signo innecesario más adelante.

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   Combina sobre el común denominador $21$. Como $\operatorname{lcm}(3,7)=21$, $-\frac{7x}{21}+\frac{6x}{21}\le 0\quad\Longrightarrow\quad -\frac{x}{21}\le 0.$ Las dos fracciones casi se cancelan y dejan un único coeficiente $-\tfrac{1}{21}$.

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   Divide entre el coeficiente negativo e invierte el signo. Multiplicar ambos miembros por $-21$ invierte la desigualdad: $-\frac{x}{21}\le 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 0.$ Esta inversión es el único paso en el que cambia el sentido, y olvidarla es el error clásico: llevaría a la respuesta equivocada $x\le 0$.

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   Prueba valores para confirmarlo. En $x=7$: el miembro izquierdo vale $1-\tfrac73=-1.3\overline{3}$ y el derecho $1-2=-1$, y $-1.333\le-1$ se cumple. En $x=-7$: el miembro izquierdo vale $1+\tfrac73=3.3\overline{3}$ y el derecho $1+2=3$, y $3.333\le 3$ es falso. Así que los $x$ no negativos sirven y los $x$ negativos no, tal como se afirmó. En $x=0$ ambos miembros valen $1$, de modo que el extremo sí se incluye.

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   Describe el dibujo en la recta numérica. Marca un punto relleno en $0$ para indicar que el propio $0$ es solución y sombrea después la semirrecta que se extiende hacia la derecha, hacia $+\infty$. En notación de intervalos, el conjunto solución es $[0,+\infty)$.