Factoriza por completo sobre los enteros x⁴ + x³ + 2x² − x + 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Descarta primero los factores lineales. Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz racional divide a $3$, así que los únicos candidatos son $\pm1,\pm3$. Probando: $f(1)=1+1+2-1+3=6$, $f(-1)=1-1+2+1+3=6$, $f(3)=81+27+18-3+3=126$, $f(-3)=81-27+18+3+3=78$. Ninguno se anula, así que no hay factor lineal y la única factorización entera posible es en dos cuadráticas.

2. 2

   Plantea la plantilla de coeficientes indeterminados. Como el coeficiente principal es $1$, las dos cuadráticas se pueden tomar mónicas:

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$

   Al desarrollar queda $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$.

3. 3

   Iguala coeficientes para obtener cuatro ecuaciones.

   $a+c=1,\qquad ac+b+d=2,\qquad ad+bc=-1,\qquad bd=3$

   La ecuación del término independiente, $bd=3$, es la que tiene menos opciones, así que es la que guía la búsqueda: $(b,d)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}$.

4. 4

   Prueba (b, d) = (1, 3). Entonces $ac+4=2$, o sea $ac=-2$, y junto con $a+c=1$ la pareja $\{a,c\}$ son las raíces de $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$, es decir $\{2,-1\}$. Comprueba el coeficiente lineal: $ad+bc=2(3)+1(-1)=5\neq-1$. Cambiar a $a=-1,c=2$ da $-3+2=-1$..., pero eso es lo mismo que reetiquetar, es decir, el caso $(b,d)=(3,1)$ de abajo. Tomado en el orden indicado, este caso falla.

5. 5

   Prueba (b, d) = (3, 1). De nuevo $ac+4=2$, así que $ac=-2$ y $\{a,c\}=\{2,-1\}$. Ahora $ad+bc=2(1)+3(-1)=2-3=-1$ ✓: las cuatro ecuaciones se cumplen con $a=2,\ b=3,\ c=-1,\ d=1$.

6. 6

   Escribe la factorización y confirma que está completa.

   $x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+2x+3)(x^2-x+1)$

   Ninguno de los dos factores se descompone más sobre los reales: sus discriminantes son $2^2-4(1)(3)=-8$ y $(-1)^2-4(1)(1)=-3$, ambos negativos, así que la cuártica no tiene ninguna raíz real.

7. 7

   Verifica desarrollando de vuelta. $(x^2+2x+3)(x^2-x+1)=x^4-x^3+x^2+2x^3-2x^2+2x+3x^2-3x+3=x^4+x^3+2x^2-x+3$ ✓, y coincide en todos los coeficientes.