Resuelve 32log3(x - 5) = 49 para x.

Step-by-step solution

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   Escribe el dominio antes de resolver. Un logaritmo necesita argumento estrictamente positivo, así que

   $x-5>0\qquad\Longrightarrow\qquad x>5$

   Cualquier candidata a solución tiene que superar ese listón; anotar la restricción desde el principio es lo que convierte la comprobación final en algo con sentido y no en un añadido de última hora.

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   Aísla el logaritmo. Divide los dos miembros entre el coeficiente $32$:

   $\log_3(x-5)=\frac{49}{32}$

   Dejar el segundo miembro como la fracción exacta $\tfrac{49}{32}=1.53125$ mantiene exacta la respuesta.

3. 3

   Pasa a forma exponencial. La equivalencia que define el logaritmo es

   $\log_b(A)=c\iff A=b^{\,c}$

   Aquí $b=3$, $A=x-5$, $c=\tfrac{49}{32}$, de modo que

   $x-5=3^{49/32}$

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   Despeja x. Suma $5$:

   $x=5+3^{49/32}$

   Esta es la respuesta exacta; no cabe simplificar más porque $\tfrac{49}{32}$ no es entero y ni $49$ ni $32$ comparten factor con $3$.

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   Evalúa numéricamente y confirma el dominio. Como $3^{49/32}=3^{1.53125}=5.37764$,

   $x=5+5.37764=10.37764$

   Como control de magnitud, $3^{1.5}=\sqrt{27}\approx5.196$ y $3^{1.53125}$ debería ser algo mayor — lo es ✓. Y $x\approx10.378>5$, así que el logaritmo está definido y la solución es válida.

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   Verifica sustituyendo hacia atrás. Con $x=10.3776424$: $x-5=5.3776424$, y $\log_3(5.3776424)=\dfrac{\ln 5.3776424}{\ln 3}=1.531250$, de modo que $32\times1.53125=49.0000$ ✓.