Sean W₁ y W₂ subespacios de un espacio euclídeo V de dimensión n con dim W₁ < dim W₂. Demuestra que W₂ contiene un vector no nulo ortogonal a todo vector de W₁.

Step-by-step solution

1. 1

   Reformula el objetivo como la no trivialidad de un núcleo. «Un $v\in W_2$ no nulo ortogonal a todo $W_1$» significa exactamente

   $W_2\cap W_1^{\perp}\ne\{0\}.$

   Convertir una afirmación de existencia en una afirmación sobre dimensiones es lo que vuelve rutinario el problema: las dimensiones se pueden contar, los vectores individuales no.

2. 2

   Construye una aplicación lineal cuyo núcleo sea el conjunto en cuestión. Define

   $T:W_2\to W_1^{*},\qquad T(x)(y)=\langle x,y\rangle\ \ \text{para }y\in W_1.$

   $T$ es lineal en $x$ porque el producto interno lo es. Envía cada vector de $W_2$ al funcional lineal que induce sobre $W_1$.

3. 3

   Identifica el núcleo. $T(x)$ es el funcional nulo precisamente cuando $\langle x,y\rangle=0$ para todo $y\in W_1$, de modo que

   $\ker T=\{x\in W_2:\;x\perp W_1\}=W_2\cap W_1^{\perp}.$

   Probar que $\ker T\ne\{0\}$ demuestra ya el teorema.

4. 4

   Acota la imagen. La imagen de $T$ está contenida en $W_1^{*}$, y $\dim W_1^{*}=\dim W_1$, así que

   $\dim(\operatorname{Im}T)\le \dim W_1.$

   Este es el único lugar por donde entra la hipótesis, y es donde la desigualdad estricta va a rendir frutos.

5. 5

   Aplica el teorema de la dimensión (rango–nulidad). Como $\dim W_2=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)$,

   $\dim(\ker T)=\dim W_2-\dim(\operatorname{Im}T)\ge \dim W_2-\dim W_1\ge 1,$

   donde en el último paso se usa $\dim W_2>\dim W_1$. Un espacio de dimensión al menos $1$ contiene un vector no nulo, luego existe $v\ne 0$ en $W_2$ con $\langle v,y\rangle=0$ para todo $y\in W_1$. $\blacksquare$

6. 6

   Comprueba que la cota es óptima y que la hipótesis es necesaria. El argumento produce de hecho todo un subespacio de vectores ortogonales, de dimensión al menos $\dim W_2-\dim W_1$. La desigualdad estricta no se puede suprimir: en $\mathbb{R}^{2}$ toma $W_1=W_2=\operatorname{span}\{(1,0)\}$, que tienen la misma dimensión; el único vector de $W_2$ ortogonal a $W_1$ es $0$.