Dado −1 ≤ x + y ≤ 4 y 2 ≤ x − 6y ≤ 3, hallar el recorrido de z = 6x − 8y.

Step-by-step solution

1. 1

   No intentar acotar x e y por separado. Acotar cada variable por su cuenta y luego recombinar siempre sobreestima el recorrido, porque las dos restricciones están ligadas. El método correcto es expresar el objetivo como una combinación lineal de las dos expresiones dadas.

2. 2

   Plantear la combinación. Se buscan constantes $\alpha,\beta$ con

   $6x-8y=\alpha(x+y)+\beta(x-6y).$

   Igualando coeficientes se obtiene el sistema

   $\alpha+\beta=6\ (\text{de }x),\qquad \alpha-6\beta=-8\ (\text{de }y).$

3. 3

   Despejar los pesos. Restando la segunda ecuación de la primera:

   $7\beta=14\ \Longrightarrow\ \beta=2,\qquad \alpha=6-2=4.$

   Comprobación: $4(x+y)+2(x-6y)=4x+4y+2x-12y=6x-8y$ ✓.

4. 4

   Escalar cada intervalo dado por su peso. Los dos pesos son positivos, así que las desigualdades conservan su sentido:

   $-1\le x+y\le 4\ \Longrightarrow\ -4\le 4(x+y)\le 16,$
   $2\le x-6y\le 3\ \Longrightarrow\ 4\le 2(x-6y)\le 6.$

   Si algún peso hubiera salido negativo, esa desigualdad habría que invertirla antes de sumar — la trampa habitual de este método.

5. 5

   Sumar los dos intervalos acotados.

   $-4+4\le z\le 16+6\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 22.$

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   Confirmar que ambos extremos se alcanzan. Las cotas se logran cuando las dos restricciones están en sus extremos. Tomando $x+y=-1$ y $x-6y=2$ resulta $x=-\tfrac47$, $y=-\tfrac37$, y $z=6(-\tfrac47)-8(-\tfrac37)=-\tfrac{24}{7}+\tfrac{24}{7}=0$. Tomando $x+y=4$ y $x-6y=3$ resulta $x=\tfrac{27}{7}$, $y=\tfrac17$, y $z=\tfrac{162}{7}-\tfrac{8}{7}=\tfrac{154}{7}=22$. Los dos extremos se alcanzan, así que el recorrido es exactamente $[0,22]$.