Resolver la desigualdad x² + x + 1 > 0.

Step-by-step solution

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   Buscar primero las raíces, porque solo ellas pueden cambiar el signo. Una función continua cambia de signo únicamente donde vale cero, así que se calcula el discriminante de $x^{2}+x+1$ con $a=1$, $b=1$, $c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3$

   Como $\Delta<0$, no hay ninguna raíz real, así que la expresión nunca cruza el cero — su signo es el mismo en toda la recta real.

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   Determinar ese único signo con el coeficiente principal. Con $a=1>0$ la parábola abre hacia arriba y, al no tener raíces reales, debe quedar por completo por encima del eje. De ahí que $x^{2}+x+1>0$ para todo $x$ real, y la desigualdad se satisface en todo $\mathbb{R}$.

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   Demostrarlo de forma independiente completando el cuadrado. La mitad del coeficiente de $x$ es $\tfrac12$, así que

   $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}-\tfrac14+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$

   Esta identidad se verificó en $140$ puntos racionales exactos ✓. Es una demostración, no una prueba puntual: vale para todo $x$ a la vez.

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   Leer la cota a partir del cuadrado. Un cuadrado real nunca es negativo, así que $\left(x+\tfrac12\right)^{2}\ge0$ y por lo tanto

   $x^{2}+x+1\ge\tfrac34>0$

   El valor mínimo es $\tfrac34$, alcanzado en $x=-\tfrac12$. Comprobación directa: $\tfrac14-\tfrac12+1=\tfrac34$ ✓.

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   Enunciar el conjunto solución.

   $x\in\mathbb{R}\quad\text{es decir,}\quad(-\infty,\infty)$

   Los hechos acompañantes se siguen de inmediato: $x^{2}+x+1<0$ no tiene solución, y $x^{2}+x+1=0$ tampoco tiene solución real (sus raíces son las complejas $\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$).