Dado x = √(10 − 2√5)/4 por c y a² + (φx)² = c², con φ la razón dorada, hallar a en función de c.

Step-by-step solution

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   Elevar al cuadrado la expresión de $x$. Elevar al cuadrado elimina de inmediato el radical exterior:

   $x^{2}=\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}$

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   Calcular $\varphi^{2}$ usando la propiedad que define la razón dorada. Como $\varphi$ cumple $\varphi^{2}=\varphi+1$,

   $\varphi^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}$

   Este atajo evita desarrollar a mano $\left(\tfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2}$.

3. 3

   Multiplicar para obtener $(\varphi x)^{2}$.

   $(\varphi x)^{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\cdot\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}=\frac{(3+\sqrt5)(10-2\sqrt5)}{32}c^{2}$

   Al desarrollar el producto: $30-6\sqrt5+10\sqrt5-2\cdot5=20+4\sqrt5$, así que

   $(\varphi x)^{2}=\frac{20+4\sqrt5}{32}c^{2}=\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}$

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   Despejar $a^{2}$. De $a^{2}=c^{2}-(\varphi x)^{2}$:

   $a^{2}=c^{2}-\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{8-5-\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{3-\sqrt5}{8}c^{2}$

   Verificado numéricamente con un error inferior a $10^{-14}$ ✓. Fíjate en que $3-\sqrt5\approx0.7639>0$, así que existe un $a$ real.

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   Desanidar el radical. Al extraer la raíz cuadrada queda $a=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt5}}{2\sqrt2}c=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt5}}{4}c$. Ahora se busca un cuadrado perfecto dentro:

   $\left(\sqrt5-1\right)^{2}=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5\ \checkmark$

   de modo que $\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1$ (positivo, ya que $\sqrt5>1$), y

   $a=\frac{\sqrt5-1}{4}c$

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   Comprobar el valor y su significado. Numéricamente $a\approx0.309017c$, que coincide con $\dfrac{\sqrt5-1}{4}=0.30901699\ldots$ con un error de $10^{-14}$ ✓. Ese número es $\tfrac{1}{2\varphi}$, ya que $\varphi^{-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$: el inverso de la razón dorada, y por eso estas longitudes aparecen en la geometría del pentágono regular.