Resuelve la inecuación |2x − 3| ≤ x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Fuerza primero que el lado derecho sea no negativo. El lado izquierdo es un valor absoluto, luego es $\ge 0$. Si $x-1<0$ la desigualdad resulta imposible, y de ahí sale un requisito estricto:

   $x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 1$

   Esta condición previa es lo que distingue un lado derecho con variable de uno numérico: si la omites, aparecen soluciones fantasma.

2. 2

   Sustituye las barras por una doble desigualdad. Para $b\ge 0$, $|A|\le b$ es equivalente a $-b\le A\le b$. Con $A=2x-3$ y $b=x-1$:

   $-(x-1)\le 2x-3\le x-1$

3. 3

   Resuelve la mitad izquierda. Desarrolla y agrupa:

   $-x+1\le 2x-3\;\Longrightarrow\;4\le 3x\;\Longrightarrow\;x\ge\frac{4}{3}$

4. 4

   Resuelve la mitad derecha. Resta $x$ y suma $3$:

   $2x-3\le x-1\;\Longrightarrow\;x\le 2$

5. 5

   Intersecta las tres condiciones. Necesitamos $x\ge 1$, $x\ge\frac43$ y $x\le 2$ al mismo tiempo; las restricciones que mandan son las dos últimas:

   $\frac{4}{3}\le x\le 2$

   Comprueba los extremos: en $x=\tfrac43$, $\left|\tfrac83-3\right|=\tfrac13$ y $x-1=\tfrac13$ $\checkmark$; en $x=2$, $|1|=1$ y $x-1=1$ $\checkmark$. Fuera del intervalo, $x=3$ da $|3|=3\not\le 2$ $\checkmark$.