¿Para qué valores de a se cumple |x − 2| + |x + 3| + |x − 1| + |x + 1| ≥ a para todo x real?

Step-by-step solution

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   Reduce la pregunta a un mínimo. La desigualdad se cumple para todo $x$ exactamente cuando $a$ no supera el valor más pequeño que llega a tomar el miembro izquierdo. Así que define

   $f(x)=|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1|$

   y halla $\min f$. Todo lo demás es contabilidad.

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   Usa el atajo de la mediana para anticipar la respuesta. Una suma de desviaciones absolutas $\sum|x-c_{i}|$ se minimiza en cualquier mediana de los puntos $c_{i}$. Aquí los cuatro puntos son $-3,\,-1,\,1,\,2$; al haber una cantidad par, todo $x$ del intervalo central $[-1,1]$ es una mediana. Así que el mínimo se alcanza en todo $[-1,1]$ y no en $[-3,1]$, una afirmación fácil de soltar y equivocada.

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   Confirma partiendo la recta en intervalos. Los puntos de quiebre $-3,-1,1,2$ cortan la recta en cinco tramos, y en cada uno todos los valores absolutos se abren con signo fijo:

   $x\le-3:\ f=-4x-1;\qquad -3\le x\le-1:\ f=5-2x;$

   $-1\le x\le 1:\ f=7;\qquad 1\le x\le 2:\ f=2x+5;\qquad x\ge 2:\ f=4x+1.$

   En $[-3,-1]$ la función es la recta decreciente $5-2x$, que va de $f(-3)=5+6=11$ hasta $f(-1)=5+2=7$: ahí no es constante.

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   Lee el mínimo. Los dos tramos exteriores crecen al alejarse del centro, los dos tramos contiguos bajan hacia $[-1,1]$, y sobre $[-1,1]$ la función es la constante

   $f(x)=(2-x)+(x+3)+(1-x)+(x+1)=7.$

   Así que $\min f=7$, alcanzado exactamente en $[-1,1]$. Comprobaciones puntuales: $f(0)=2+3+1+1=7$ ✓, $f(-2)=4+1+3+1=9$ ✓ (estrictamente por encima del mínimo), $f(-3)=5+0+4+2=11$ ✓.

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   Enuncia la condición sobre $a$. La desigualdad $f(x)\ge a$ se cumple para todo $x$ real si y solo si

   $a\le 7.$

   Si $a>7$ la desigualdad falla en toda la banda central abierta, y su conjunto solución pasa a ser $\left(-\infty,\tfrac{5-a}{2}\right]\cup\left[\tfrac{a-5}{2},\infty\right)$ para $7<a\le 9$, que se obtiene invirtiendo los dos tramos lineales contiguos.