El volumen de un prisma rectangular es x³ − 3x² + 5x − 3 y el área de su base es x² − 2. Como el volumen es el producto del área de la base por la altura, ¿cuál es la altura del prisma?

Step-by-step solution

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   Convertir la relación geométrica en una división. De $V=A\cdot h$,

   $h=\frac{V}{A}=\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x^2-2}$

   El divisor es una cuadrática, así que la división sintética no se puede aplicar — esto exige una división larga de polinomios completa.

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   Primer paso de la división: igualar los términos principales. $x^3\div x^2=x$, así que el primer término del cociente es $x$. Multiplica y resta:

   $x(x^2-2)=x^3-2x$
   $(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x)=-3x^2+7x-3$

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   Segundo paso de la división. $-3x^2\div x^2=-3$, así que el siguiente término del cociente es $-3$. Multiplica y resta:

   $-3(x^2-2)=-3x^2+6$
   $(-3x^2+7x-3)-(-3x^2+6)=7x-9$

   El resto $7x-9$ tiene grado $1$, menor que el grado $2$ del divisor, así que la división se detiene aquí.

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   Escribir la altura como cociente más resto sobre divisor.

   $h=x-3+\frac{7x-9}{x^2-2}$

   Como el resto no es el polinomio nulo, la altura es una expresión racional y no un polinomio — los números de este problema sencillamente no dan una división exacta.

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   Verificar multiplicando de vuelta. Al recomponer $A\cdot h$ se debe recuperar $V$:

   $(x^2-2)(x-3)+(7x-9)=x^3-3x^2-2x+6+7x-9=x^3-3x^2+5x-3\ \checkmark$

   En $x=5$ ambos lados dan $72$, lo que confirma la identidad también numéricamente.

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   Comprobar la altura en un valor cómodo. En $x=2$: $V=8-12+10-3=3$ y $A=4-2=2$, así que la altura verdadera es $\tfrac32$. La fórmula da

   $(2-3)+\frac{14-9}{4-2}=-1+2.5=1.5\ \checkmark$