Resuelve la ecuación cuártica x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0, dando las raíces reales con siete decimales.

Step-by-step solution

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   Descarta primero las raíces racionales. Por el teorema de la raíz racional, cualquier raíz racional divide a $-18$, así que los candidatos son $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$. Probarlos todos da un valor distinto de cero; por ejemplo,

   $f(9) = 6561 - 7290 + 1458 - 360 - 18 = 351 \ne 0, \qquad f(-1) = 1 + 10 + 18 + 40 - 18 = 51 \ne 0$

   así que no hay ningún factor lineal sobre $\mathbb{Q}$. En particular, $x = 9$ no es raíz, aunque sea una conjetura tentadora porque $9 \mid 18$.

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   Descarta también una partición entera en dos cuadráticas. Escribir $f(x) = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ obliga a

   $a+c=-10, \quad ac+b+d=18, \quad ad+bc=-40, \quad bd=-18$

   Un rastreo exhaustivo sobre todos los pares de divisores enteros $(b,d)$ de $-18$ y todo entero $a$ no encuentra solución. Cuidado con el caso que casi funciona, $b=9, d=-2$: satisface las dos primeras ecuaciones con $ac = 11$, $a,c = -5 \pm \sqrt{14}$, pero entonces $ad+bc = -35 - 11\sqrt{14} \approx -76.2 \ne -40$. Hay que comprobar las cuatro condiciones, no tres.

3. 3

   Localiza las raíces reales con una tabla de signos. Evalúa $f$ sobre una malla:

   $f(-1) = 51, \quad f(0) = -18, \quad f(8) = -210, \quad f(9) = 351$

   El signo cambia en $(-1, 0)$ y en $(8, 9)$, así que por el teorema del valor intermedio hay una raíz real en cada uno. Como $f$ es negativa en todo el tramo $[0, 8]$, hay exactamente dos raíces reales.

4. 4

   Refina con el método de Newton. Con $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 36x - 40$, itera $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ partiendo de los puntos medios de los intervalos:

   $x \approx 8.4610649, \qquad x \approx -0.3736462$

   Trabajando con 40 dígitos de precisión, estos valores cumplen $|f(x)| < 10^{-36}$, así que las cifras mostradas son correctas.

5. 5

   Da cuenta de las dos raíces restantes. Al dividir por el par real queda una cuadrática de discriminante negativo, que da las conjugadas complejas

   $x \approx 0.9562906 \pm 2.1861170\,i$

   Así que la factorización real en cuadráticas es $\left(x^2 - 8.0874187x - 3.1614449\right)\left(x^2 - 1.9125813x + 5.6935992\right)$, sin ningún coeficiente racional.

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   Confirma con las fórmulas de Vieta. Las cuatro raíces deben sumar $10$ y su producto debe ser $-18$:

   $8.4610649 - 0.3736462 + 2(0.9562906) = 9.9999999 \ \checkmark$

   $(8.4610649)(-0.3736462)\left(0.9562906^2 + 2.1861170^2\right) = -18.0000 \ \checkmark$

   Ambas identidades se cumplen, lo que verifica los cálculos numéricos de forma independiente de la iteración de Newton.