Reescribe (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1 como un cuadrado perfecto.

Step-by-step solution

1. 1

   Busca la estructura antes de tocar el álgebra. Los tres términos son: algo al cuadrado, el doble de ese mismo algo, y $1$. Ese es exactamente el patrón del cuadrado perfecto

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2$

   Reconocerlo evita tener que desarrollar hasta $4x^2 + 8x + 4$ y volver a factorizar después.

2. 2

   Ponle nombre al bloque que se repite. Toma

   $A = 2x + 1$

   Entonces la expresión es literalmente $A^2 + 2A + 1$. El término central debe ser $2A$ (no $2$ por otra cosa) para que el patrón se aplique; aquí $2(2x+1) = 2A$, así que sí se aplica.

3. 3

   Aplica la identidad y deshaz la sustitución.

   $A^2 + 2A + 1 = (A+1)^2 = \bigl((2x+1) + 1\bigr)^2 = (2x+2)^2$

4. 4

   Saca el factor común del paréntesis. Los dos términos de dentro comparten el factor $2$:

   $(2x+2)^2 = \bigl(2(x+1)\bigr)^2 = 4(x+1)^2$

   La forma $4(x+1)^2$ suele ser la respuesta final preferida, porque el paréntesis queda completamente reducido.

5. 5

   Verifica desarrollando los dos lados. La expresión original se desarrolla como

   $(4x^2 + 4x + 1) + (4x + 2) + 1 = 4x^2 + 8x + 4$

   y la respuesta se desarrolla como $4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4$. Coinciden, y una comprobación puntual en $x = 3$ da $49 + 14 + 1 = 64 = 4(4)^2$.