Simplifique la fracción (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸) / (2¹⁰ + 5 · 2⁹).

Step-by-step solution

1. 1

   No evalúe las potencias. Podría calcular $1024+512+256=1792$ sobre $1024+2560=3584$, pero el objetivo del ejercicio es la técnica que sigue funcionando cuando los exponentes son letras. Factorice en lugar de desarrollar.

2. 2

   Saque como factor común la menor potencia de 2 del numerador. Los tres exponentes son $10,9,8$, así que la menor potencia es $2^{8}$:

   $2^{10}+2^{9}+2^{8}=2^{8}\left(2^{2}+2^{1}+1\right)=2^{8}(4+2+1)=7\cdot 2^{8}$

3. 3

   Saque como factor común la menor potencia de 2 del denominador. Aquí los exponentes son $10$ y $9$, así que se extrae $2^{9}$:

   $2^{10}+5\cdot 2^{9}=2^{9}\left(2+5\right)=7\cdot 2^{9}$

   El coeficiente $5$ se queda pegado a su propio término, lo que da $2+5=7$ dentro del paréntesis.

4. 4

   Cancele los factores comunes. Los dos paréntesis produjeron un $7$, y las potencias de dos se restan:

   $\frac{7\cdot 2^{8}}{7\cdot 2^{9}}=\frac{2^{8}}{2^{9}}=2^{8-9}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

5. 5

   Confirme numéricamente. $\dfrac{1792}{3584}=\dfrac{1}{2}$ exactamente, en coincidencia con el resultado factorizado. Que aparezca un $7$ en los dos paréntesis es lo que hace que esta fracción se simplifique tan limpiamente.