Dividir f³ + 64 entre f + 4.

Step-by-step solution

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   Escribir todos los coeficientes, incluidos los que faltan. $f^3+64$ no tiene término en $f^2$ ni en $f$, así que la lista de coeficientes es $1,\,0,\,0,\,64$. Olvidar los ceros de relleno es, por sí solo, el error más frecuente en la división sintética.

2. 2

   Identificar la raíz para la división sintética. El divisor $f+4$ se anula en $f=-4$, así que en la casilla de la esquina va $-4$: el signo es opuesto al que aparece escrito en el divisor.

3. 3

   Ejecutar el algoritmo. Se baja el $1$; $1\times(-4)=-4$, y $0+(-4)=-4$; $-4\times(-4)=16$, y $0+16=16$; $16\times(-4)=-64$, y $64+(-64)=0$. La fila queda $1,\ -4,\ 16,\ 0$.

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   Leer el cociente y el resto. La última entrada $0$ es el resto, y las tres primeras dan un cociente de grado 2: $\frac{f^3+64}{f+4} = f^2-4f+16.$

5. 5

   Reconocer por qué el resto es cero. Como $64=4^3$, esto es una suma de cubos: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ con $a=f$ y $b=4$ da exactamente $(f+4)(f^2-4f+16)$. Por el teorema del factor, $(-4)^3+64=0$ garantizaba un resto nulo.

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   Comprobar multiplicando de vuelta. $(f+4)(f^2-4f+16) = f^3-4f^2+16f+4f^2-16f+64 = f^3+64$. Todos los términos intermedios se cancelan, como debe ser.