Resolver la ecuación cúbica 49 − 112x + 21x² − x³ = 0.

Step-by-step solution

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   Poner la cúbica en forma estándar mónica. Al invertir el orden y multiplicar todo por $-1$:

   $x^3 - 21x^2 + 112x - 49 = 0$

   Un coeficiente principal $+1$ es lo que suponen todos los criterios de raíces y las fórmulas de reducción que vienen a continuación.

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   Descartar las raíces racionales. Por el teorema de la raíz racional los únicos candidatos son $\pm 1, \pm 7, \pm 49$. Al probarlos: $f(1) = 43$, $f(-1) = -183$, $f(7) = 343 - 1029 + 784 - 49 = 49$, $f(-7) = -2205$, y $f(\pm 49)$ queda lejísimos de cero. Así que la cúbica no factoriza sobre los racionales y no existe ningún atajo por división sintética.

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   Reducir la cúbica eliminando el término cuadrático mediante un desplazamiento. Para $x^3 + ax^2 + bx + c$, la sustitución $x = y - \tfrac{a}{3}$ suprime el término al cuadrado. Aquí $a = -21$, así que se pone $x = y + 7$:

   $(y+7)^3 - 21(y+7)^2 + 112(y+7) - 49 = y^3 - 35y + 49 = 0$

   La forma reducida $y^3 + py + q$ tiene $p = -35$ y $q = 49$.

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   Confirmar que las tres raíces son reales y aplicar entonces la fórmula del coseno. El término del discriminante de la cúbica es $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{p}{3}\right)^3 = 600.25 - 1587.963 = -987.713 < 0$: el casus irreducibilis, con tres raíces reales distintas que la fórmula radical de Cardano solo puede expresar pasando por los números complejos. La sustitución trigonométrica $y = 2\sqrt{-p/3}\,\cos\theta$ evita ese problema:

   $y_k = 2\sqrt{\frac{35}{3}}\,\cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(-\frac{21}{10}\sqrt{\frac{3}{35}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$

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   Deshacer el desplazamiento y evaluar. Como $x = y + 7$ y $2\sqrt{35/3} \approx 6.8313$ con $\arccos(-0.6148170) \approx 2.2329502$ radianes, las tres raíces son

   $x_0 \approx 12.0248, \qquad x_1 \approx 8.4956, \qquad x_2 \approx 0.4797$

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   Comprobar con las fórmulas de Vieta. Las tres raíces deben sumar $21$ y multiplicarse hasta dar $49$: $12.0248 + 8.4956 + 0.4797 = 21.0001$ y $12.0248 \times 8.4956 \times 0.4797 = 49.01$. Las dos cosas se cumplen, algo que no ocurre con los decimales que suelen citarse, $0.4582,\ 9.8091,\ 10.7327$: esos suman $21$, pero su producto es $48.24$, así que no son las raíces de esta cúbica.