Sea z un número complejo tal que el conjugado de (z - 1), multiplicado por (4 + 8i), es igual a 2. Hallar el valor del módulo de z al cuadrado.

Step-by-step solution

1. 1

   Por qué no basta con trabajar solo con módulos. Al tomar valores absolutos se obtiene $|z-1|\cdot|4+8i|=2$, es decir, $|z-1|=\tfrac{2}{\sqrt{80}}$. Esa es la distancia de $z$ a $1$, no $|z|$, así que no determina $|z|^2$. Hay que recuperar realmente el propio $z$.

2. 2

   Despejar el conjugado y racionalizar. Se dividen ambos lados entre $4+8i=4(1+2i)$ y se multiplica por el conjugado del denominador:

   $\overline{(z-1)}=\frac{2}{4(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-2i}{10}.$

3. 3

   Conjugar ambos lados para eliminar la barra. La conjugación es su propia inversa, y $\overline{\overline{w}}=w$, de modo que

   $z-1=\overline{\left(\frac{1-2i}{10}\right)}=\frac{1+2i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i.$

4. 4

   Despejar $z$. Sumando $1$:

   $z=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i=\frac{11}{10}+\frac{1}{5}i.$

5. 5

   Aplicar $|z|^2=a^2+b^2$. Con $a=\tfrac{11}{10}$ y $b=\tfrac15$:

   $|z|^2=\frac{121}{100}+\frac{1}{25}=\frac{121}{100}+\frac{4}{100}=\frac{125}{100}=\frac54.$

   Comprobación: $\overline{(z-1)}(4+8i)=\left(\tfrac{1-2i}{10}\right)(4+8i)=\tfrac{4+8i-8i+16}{10}=2$, como se pedía.