Resolver la desigualdad (2x - 1)(x + 1)/(x² + x + 2) ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Examinar primero el denominador. Para $x^{2}+x+2$ el discriminante es

   $\Delta=1^{2}-4(1)(2)=1-8=-7<0,$

   y el coeficiente principal es positivo, así que la parábola nunca corta al eje:

   $x^{2}+x+2>0\quad\text{para todo real }x.$

   Ese único hecho hace casi todo el trabajo — no hay puntos excluidos ni cambios de signo provenientes de debajo de la barra.

2. 2

   Reducir a una desigualdad polinómica. Multiplicar ambos lados por una cantidad estrictamente positiva conserva la desigualdad, así que

   $\frac{(2x-1)(x+1)}{x^{2}+x+2}\le0\iff(2x-1)(x+1)\le0.$

   Esta equivalencia fallaría si el denominador pudiera cambiar de signo, que es exactamente la razón por la que el paso 1 tenía que ir primero.

3. 3

   Hallar los puntos críticos. Igualando cada factor a cero:

   $2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac12,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1.$

   Ambos anulan el numerador y dejan el denominador distinto de cero, así que allí la fracción completa vale $0$ — lo que cumple $\le0$ y significa que los dos extremos se incluyen.

4. 4

   Leer el signo de la cuadrática. El producto $(2x-1)(x+1)$ es una parábola que abre hacia arriba, así que es negativa entre sus raíces y positiva fuera de ellas. Los puntos de prueba lo confirman: en $x=-2$, $(-5)(-1)=5>0$; en $x=0$, $(-1)(1)=-1<0$; en $x=1$, $(1)(2)=2>0$.

5. 5

   Escribir el conjunto solución. Combinando el intervalo negativo con los dos ceros:

   $x\in\left[-1,\ \tfrac12\right].$

   Comprobaciones sobre la fracción original: en $x=-2$ vale $\tfrac{5}{4}>0$ (excluido) ✓, en $x=0$ vale $-\tfrac12<0$ (incluido) ✓, en $x=\tfrac12$ vale $0$ (incluido) ✓, y en $x=1$ vale $\tfrac12>0$ (excluido) ✓.