Resuelve 3600x + 2430000 = x².

Step-by-step solution

1. 1

   Reordena a la forma estándar. Pasa todo al miembro donde $x^2$ es positivo:

   $x^2-3600x-2430000=0$

   de donde $a=1$, $b=-3600$, $c=-2430000$. Como $c<0$, las dos raíces tendrán signos opuestos.

2. 2

   Calcula el discriminante.

   $\Delta=(-3600)^2-4(1)(-2430000)=12960000+9720000=22680000$

3. 3

   Simplifica la raíz cuadrada en lugar de pasarla a decimal. Extrae los cuadrados perfectos:

   $22680000=324\cdot 70000=324\cdot 10000\cdot 7$

   de modo que

   $\sqrt{22680000}=18\cdot 100\cdot\sqrt7=1800\sqrt7$

   (Confirmación: $(1800)^2\cdot 7=3240000\cdot 7=22680000$ ✓.) Conservar el radical es lo que hace exacta la respuesta final.

4. 4

   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{3600\pm 1800\sqrt7}{2}=1800\pm 900\sqrt7$

   Los dos términos se dividen entre dos — un desliz muy frecuente es dividir solo el $3600$.

5. 5

   Evalúa numéricamente. Con $\sqrt7=2.6457513$, resulta $900\sqrt7=2381.1762$, así que

   $x_1=4181.1762,\qquad x_2=-581.1762$

   Signos opuestos, tal como anticipaba el paso 1.

6. 6

   Comprueba con Cardano-Vieta. Las raíces deben sumar $-b/a=3600$ y multiplicarse hasta $c/a=-2430000$. En efecto, $(1800+900\sqrt7)+(1800-900\sqrt7)=3600$ ✓, y

   $(1800)^2-(900\sqrt7)^2=3240000-5670000=-2430000$ ✓