Simplificar (9a² − 4)/(2 − 3a) − (6a² − 5a − 6)/(3 − 2a).

Step-by-step solution

1. 1

   Planear la ruta: factorizar todo antes de buscar un común denominador. Los dos denominadores están escritos «al revés» respecto de los factores que van a aparecer arriba, y esa inversión vale exactamente un factor de $-1$. Detectarlo primero evita un cálculo engorroso de común denominador.

2. 2

   Factorizar y reducir la primera fracción. $9a^2-4 = (3a)^2-2^2 = (3a-2)(3a+2)$, mientras que $2-3a = -(3a-2)$. Al cancelar el factor coincidente: $\frac{(3a-2)(3a+2)}{-(3a-2)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac23.$

3. 3

   Factorizar el segundo numerador. Para $6a^2-5a-6$ se buscan enteros cuyo producto sea $6(-6) = -36$ y cuya suma sea $-5$: son $4$ y $-9$. Al descomponer y agrupar: $6a^2+4a-9a-6 = 2a(3a+2)-3(3a+2) = (3a+2)(2a-3)$.

4. 4

   Reducir la segunda fracción. Como $3-2a = -(2a-3)$, $\frac{(3a+2)(2a-3)}{-(2a-3)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac32.$ Las dos fracciones se han reducido a la misma expresión.

5. 5

   Restar. $(-3a-2)-(-3a-2) = -3a-2+3a+2 = 0.$ La expresión es idénticamente nula en todo punto donde está definida.

6. 6

   Registrar los valores excluidos y hacer una comprobación puntual. La expresión original no está definida en $a=\tfrac23$ ni en $a=\tfrac32$. Al sustituir $a=0.3$, $1.7$, $-2$ y $5$ se obtiene $0$ en todos los casos con precisión total, lo que confirma la identidad.