¿Cuántas soluciones enteras tiene la desigualdad (x² − 16)/(1 + 4x − 5x²) ≥ 0?

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el numerador y el denominador. El numerador es una diferencia de cuadrados: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. En el denominador, saca primero el signo: $1+4x-5x^2=-(5x^2-4x-1)=-(5x+1)(x-1)$.

2. 2

   Reescribe con el signo menos delante extraído. La desigualdad queda $\frac{(x-4)(x+4)}{-(5x+1)(x-1)}\ge 0$, es decir, $\frac{(x-4)(x+4)}{(5x+1)(x-1)}\le 0$. Invertir el sentido aquí es el paso que la mayoría de las soluciones hace mal.

3. 3

   Enumera los valores críticos y las exclusiones. El numerador se anula en $x=\pm4$ (esos valores están permitidos, porque la desigualdad no es estricta) y el denominador se anula en $x=-\frac15$ y $x=1$ (esos hay que excluirlos). En orden creciente, los puntos de corte son $-4,\ -\frac15,\ 1,\ 4$.

4. 4

   Construye el diagrama de signos. Probando un punto en cada intervalo: en $x=-5$ el cociente es positivo, en $(-4,-\frac15)$ es negativo, en $(-\frac15,1)$ es positivo, en $(1,4)$ es negativo y para $x>4$ es positivo. Por tanto la desigualdad $\le 0$ se cumple en $[-4,-\frac15)\cup(1,4]$.

5. 5

   Reúne los enteros de esos intervalos. De $[-4,-\frac15)$: $-4,-3,-2,-1$. De $(1,4]$: $2,3,4$. Observa que $x=1$ y $x=-\frac15$ están excluidos y que $x=0$ cae en una región positiva, así que ninguno se cuenta.

6. 6

   Cuenta y verifica algunos casos. Eso da $4+3=7$ enteros. Comprobando $x=-1$ en la original: $\frac{1-16}{1-4-5}=\frac{-15}{-8}=1.875\ge 0$; comprobando $x=2$: $\frac{4-16}{1+8-20}=\frac{-12}{-11}\approx 1.09\ge 0$; comprobando $x=5$: $\frac{9}{-104}<0$, correctamente excluido.