La expresión (2 - 3x)/(x(x - 1)) es positiva. ¿A qué conjunto de valores pertenece x?

Step-by-step solution

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   Lista los puntos donde cambia el signo. Un cociente solo cambia de signo donde se anula algún factor. Numerador: $2-3x = 0$ en $x = \tfrac23$. Denominador: $x = 0$ y $x = 1$. Son tres puntos, en el orden $0 < \tfrac23 < 1$.

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   Observa que los dos tipos de punto se comportan de forma distinta. En $x = \tfrac23$ la fracción vale $0$, que no es positivo, así que $\tfrac23$ queda excluido de una desigualdad estricta. En $x = 0$ y $x = 1$ la fracción no está definida, así que también quedan excluidos. Aquí todos los extremos son abiertos.

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   Prueba cada uno de los cuatro intervalos.

   intervalo	$x$ de prueba	numerador	denominador	cociente
   $(-\infty,0)$	$-1$	$+5$	$(-1)(-2) = +2$	positivo
   $(0,\tfrac23)$	$0.5$	$+0.5$	$(0.5)(-0.5) = -0.25$	negativo
   $(\tfrac23,1)$	$0.8$	$-0.4$	$(0.8)(-0.2) = -0.16$	positivo
   $(1,\infty)$	$2$	$-4$	$(2)(1) = +2$	negativo

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   Lee los intervalos de positividad. El cociente es positivo en el primero y en el tercero:

   $x \in (-\infty,\,0) \cup \left(\tfrac23,\,1\right)$

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   Entiende por qué los signos se alternan así. Cruzar $x = 0$ o $x = 1$ cambia el signo de un factor lineal del denominador, y cruzar $x = \tfrac23$ cambia el del numerador, de modo que el signo se alterna en cada uno de los tres puntos, que es exactamente el patrón de la tabla.

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   Confírmalo de forma simbólica. Un solucionador aplicado a $\dfrac{2-3x}{x(x-1)} > 0$ devuelve $(-\infty,0) \cup \left(\tfrac23,1\right)$ ✓, que coincide con la tabla de signos hecha a mano. La respuesta incorrecta tentadora $(-\infty,0) \cup (\tfrac23,\infty)$ olvida que la fracción vuelve a ser negativa pasado $x = 1$.