Simplifica √6(√54 − √(1/6)) + √((−7)²) − (−2√6)².

Step-by-step solution

1. 1

   Simplificar los radicales de adentro del paréntesis.

   $\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt6,\qquad \sqrt{\tfrac16}=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}$

   El segundo se racionaliza multiplicando numerador y denominador por $\sqrt6$.

2. 2

   Combinar dentro del paréntesis.

   $3\sqrt6-\frac{\sqrt6}{6}=\frac{18\sqrt6-\sqrt6}{6}=\frac{17\sqrt6}{6}$

3. 3

   Multiplicar por el √6 de afuera. Como $\sqrt6\cdot\sqrt6=6$,

   $\sqrt6\cdot\frac{17\sqrt6}{6}=\frac{17\cdot 6}{6}=17$

4. 4

   Evaluar con cuidado los dos términos restantes. Estas son las dos trampas:

   $\sqrt{(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7\quad(\text{y no }-7,\text{ ya que }\sqrt{a^{2}}=|a|)$

   $\left(-2\sqrt6\right)^{2}=(-2)^{2}\left(\sqrt6\right)^{2}=4\cdot 6=24\quad(\text{positivo, por ser un cuadrado})$

5. 5

   Sumar todo.

   $17+7-24=0$

   $\boxed{0}$

6. 6

   Verificar numéricamente. $\sqrt6\approx 2.4495$, $\sqrt{54}\approx 7.3485$, $\sqrt{1/6}\approx 0.4082$. Entonces $2.4495(7.3485-0.4082)=2.4495(6.9402)=17.000$, y $17+7-24=0$ ✓.