Halla el valor de D = 9x² − 12xy + 4y² dado que 3x − 2y = 20.

Step-by-step solution

1. 1

   Toma las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados. Para el patrón $A^2 - 2AB + B^2$ primero necesitas $A$ y $B$:

   $A^2 = 9x^2 \Rightarrow A = 3x, \qquad B^2 = 4y^2 \Rightarrow B = 2y$

   Aquí los coeficientes principales $9$ y $4$ son ellos mismos cuadrados perfectos, y esa es la señal de que se puede aplicar esta identidad.

2. 2

   Verifica el término central antes de comprometerte. El patrón exige que el término central sea exactamente $2AB$:

   $2AB = 2(3x)(2y) = 12xy$

   Coincide con el $-12xy$ de la expresión, y el signo menos selecciona $(A - B)^2$ en lugar de $(A + B)^2$. Si el coeficiente central hubiera sido distinto de $12$, la expresión no sería un cuadrado perfecto en absoluto.

3. 3

   Reescribe como un solo cuadrado.

   $D = 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$

4. 4

   Sustituye la relación dada. Con $3x - 2y = 20$:

   $D = 20^2 = 400$

   De nuevo se reemplaza el paréntesis completo de una sola vez; no hay información suficiente para determinar $x$ y $y$ por separado, y tampoco hace falta.

5. 5

   Comprueba con dos soluciones concretas de 3x − 2y = 20. Toma $y = 2$, $x = 8$: $9(64) - 12(16) + 4(4) = 576 - 192 + 16 = 400 \ \checkmark$. Toma $y = -1$, $x = 6$: $324 + 72 + 4 = 400 \ \checkmark$. El valor no depende de la solución que se use, como era de esperar.