Calcula el determinante de la matriz 4x4 cuyas filas son (18,5,7,8), (18,3,4,4), (9,1,1,1) y (9,2,3,4).

Step-by-step solution

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   Reduce antes de desarrollar. Un desarrollo por cofactores a ciegas de un $4\times 4$ exige cuatro determinantes $3\times 3$. Sumar a una fila un múltiplo de otra deja el determinante inalterado, así que resulta mucho más económico crear primero una columna con un único elemento no nulo.

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   Despeja la primera columna usando la fila 3. La fila $3$ empieza por $9$, y los demás elementos de la primera columna son $18$, $18$ y $9$, así que

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   da

   $\begin{vmatrix}0&3&5&6\\0&1&2&2\\9&1&1&1\\0&1&2&3\end{vmatrix}$

3. 3

   Desarrolla por la primera columna. Solo sobrevive el elemento $9$ de la posición $(3,1)$, y el signo de su cofactor es $(-1)^{3+1}=+1$:

   $\det=9\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}$

   (El menor conserva las filas $1,2,4$ y las columnas $2,3,4$ de la matriz reducida.)

4. 4

   Evalúa el menor 3×3. Resta la fila $2$ de la fila $3$ para obtener $(0,0,1)$ y desarrolla por esa fila:

   $\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}3&5\\1&2\end{vmatrix}=3(2)-5(1)=1$

5. 5

   Multiplica de vuelta.

   $\det=9\times 1=9$

   $\boxed{9}$

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   Comprueba con un desarrollo directo por cofactores sobre la tercera fila. Desarrollar la matriz original por $(9,1,1,1)$ da $9M_{31}-1\cdot M_{32}+1\cdot M_{33}-1\cdot M_{34}$ con los signos que corresponden; al llevar a cabo ese cálculo también sale $9$. La coincidencia de dos vías independientes es la comprobación de que ninguna operación de fila arrastró un signo equivocado.