Simplificar la expresión exponencial (x⁵y⁶z³ / (x⁻⁵y⁻⁶z⁻³))⁻². Suponer que las variables representan números reales distintos de cero.

Step-by-step solution

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   Simplificar dentro del paréntesis antes de aplicar la potencia exterior. Aquí hay dos reglas de exponentes compitiendo por la atención, y el orden importa para no equivocarse con los signos. Primero se reduce la fracción a un solo monomio y después se trata el $-2$ de una sola vez. La herramienta para la fracción es la regla del cociente:

   $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

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   Restar los exponentes variable por variable, atento a los dobles negativos. Cada exponente del denominador es negativo, así que restarlo suma:

   $\frac{x^{5}}{x^{-5}}=x^{5-(-5)}=x^{10},\qquad \frac{y^{6}}{y^{-6}}=y^{6-(-6)}=y^{12},\qquad \frac{z^{3}}{z^{-3}}=z^{3-(-3)}=z^{6}$

   Así que la expresión es ahora

   $\left(x^{10}y^{12}z^{6}\right)^{-2}$

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   Repartir el exponente exterior con la regla de la potencia. Como $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$, y un producto elevado a una potencia eleva a cada factor, todos los exponentes quedan multiplicados por $-2$:

   $x^{10(-2)}y^{12(-2)}z^{6(-2)}=x^{-20}y^{-24}z^{-12}$

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   Convertir los exponentes negativos en una forma de exponentes positivos. Un exponente negativo significa un recíproco, $a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}$, así que los tres factores caen a un mismo denominador:

   $x^{-20}y^{-24}z^{-12}=\frac{1}{x^{20}y^{24}z^{12}}$

   Por eso el enunciado insiste en que las variables son distintas de cero — si no, el recíproco no estaría definido.

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   Verificar numéricamente. Sustituyendo $x=1.3$, $y=0.7$, $z=2.1$ en la expresión original se obtiene $0.0037337776928081$, y la forma simplificada $1/(x^{20}y^{24}z^{12})$ da el mismo $0.0037337776928081$. Las dos coinciden con toda la precisión de doble, así que el manejo de los exponentes es correcto.