Se plantan árboles en triángulo: 1 árbol en la primera fila, 2 en la segunda, 3 en la tercera, y así hasta usar los 3003 árboles. ¿Cuántas filas hay?

Step-by-step solution

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   Reconoce la serie aritmética. Las cantidades por fila forman la progresión aritmética $1,2,3,\dots,n$ con $u_1=1$ y $d=1$, de modo que el número total de árboles es el número triangular $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

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   Iguala la suma a la cantidad de árboles disponible. $\frac{n(n+1)}{2}=3003\quad\Longrightarrow\quad n^2+n-6006=0$

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   Resuelve la ecuación de segundo grado. $n=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot 6006}}{2}=\frac{-1+\sqrt{24025}}{2}=\frac{-1+155}{2}=77$ El discriminante $24025=155^2$ es un cuadrado perfecto, señal de que el problema se diseñó para cerrar exactamente.

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   Descarta la raíz negativa. La otra raíz es $n=-78$, que carece de sentido como número de filas, así que $n=77$.

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   Verifica el total. $\frac{77\cdot 78}{2}=\frac{6006}{2}=3003$ árboles, usando todos los árboles sin que sobre ninguno. La respuesta es A.