Resuelve 2^x + x = 5 para x.

Step-by-step solution

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   Reconoce que no existe forma cerrada. La incógnita aparece a la vez en un exponente y como término lineal. Los logaritmos no pueden separarlos: tomar $\ln$ de $2^{x}+x$ no simplifica nada, porque el logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos. Así que la vía honesta es la numérica.

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   Confirma que hay exactamente una raíz y acótala. Sea $f(x)=2^{x}+x-5$. Tanto $2^{x}$ como $x$ son estrictamente crecientes, así que $f$ es estrictamente creciente y puede cortar el cero como mucho una vez. Evaluando:

   $f(1)=2+1-5=-2<0,\qquad f(2)=4+2-5=1>0$

   Un cambio de signo en una función continua garantiza una raíz en $(1,2)$, y la monotonía garantiza que es la única.

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   Estrecha el intervalo con pruebas.

   $f(1.5)=2^{1.5}+1.5-5\approx2.8284+1.5-5=-0.6716<0$

   $f(1.7)\approx3.2490+1.7-5=-0.0510<0,\qquad f(1.72)\approx3.2943+1.72-5=+0.0143>0$

   así que la raíz está entre $1.70$ y $1.72$, ya cerca de $1.72$.

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   Biseca hasta la convergencia. Partiendo repetidamente por la mitad el intervalo $[1.7,1.72]$ y quedándote con la mitad donde cambia el signo, se converge a

   $x\approx1.7156207$

   Comprobación: $2^{1.7156207}+1.7156207=5.0000000$ con un error inferior a $10^{-6}$ ✓.

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   Redondea con cuidado: el tercer decimal importa. Con tres decimales la raíz es $x\approx1.716$ y no $1.717$: sustituir $1.717$ da $2^{1.717}+1.717\approx5.00452$, que se pasa de $5$ en unos $0.004$. Como $f$ sube a razón de unos $2.9$ por unidad cerca de la raíz, un error de $0.001$ en $x$ desplaza a $f$ en torno a $0.003$, lo bastante para notarse, así que vale la pena arrastrar el dígito extra.