Simplifique (x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolle el cubo. Usando $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ con $a=x$, $b=1$:

   $(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

   Hacen falta los cuatro términos; escribir $(x+1)^{3}=x^{3}+1$ es un atajo frecuente y caro.

2. 2

   Desarrolle el producto como diferencia de cuadrados. Los factores son conjugados, así que los términos cruzados se cancelan:

   $(x-4)(x+4)=x^{2}-16$

3. 3

   Sustituya y distribuya con cuidado los signos menos. El paréntesis del medio está restado, así que sus dos términos cambian de signo:

   $\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)-\left(x^{2}-16\right)-x^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1-x^{2}+16-x^{3}$

   Observe que $-(-16)=+16$; olvidar ese doble negativo es la trampa principal de este problema.

4. 4

   Reúna los términos semejantes. Los dos términos cúbicos se cancelan de plano:

   $x^{3}-x^{3}=0,\qquad3x^{2}-x^{2}=2x^{2},\qquad3x,\qquad1+16=17$

   así que la respuesta es

   $2x^{2}+3x+17$

   La expresión parecía cúbica, pero en realidad es cuadrática: la cancelación de $x^{3}$ es el objetivo del ejercicio.

5. 5

   Verifique en dos valores. En $x=0$: la original da $1-(-16)-0=17$, y la respuesta da $17$ ✓. En $x=2$: la original da $27-(-2)(6)-8=27+12-8=31$, y la respuesta da $8+6+17=31$ ✓. La identidad se confirmó en todos los enteros de $-40$ a $39$ ✓.

6. 6

   Observe la forma del resultado. El discriminante es $9-4(2)(17)=-127<0$ y el coeficiente principal es positivo, así que $2x^{2}+3x+17$ no tiene raíces reales y es positivo para todo $x$: su mínimo vale $17-\tfrac98=\tfrac{127}{8}\approx15.875$ en $x=-\tfrac34$.