Simplificar (6x − 6) / (12x² + x(x² − 2x + 1)).

Step-by-step solution

1. 1

   Factorizar el numerador. Los dos términos comparten un factor $6$:

   $6x-6=6(x-1)$

   El $(x-1)$ que queda a la vista es lo que hace tentador esperar una cancelación — el resto del trabajo decide si realmente existe.

2. 2

   Sacar la x común del denominador. El cuadrado perfecto $x^2-2x+1=(x-1)^2$, así que

   $12x^{2}+x(x-1)^{2}=x\left[12x+(x-1)^{2}\right]$

   Nótese que el máximo factor común es $x$ — y no $x^2$ — porque el segundo término lleva una sola $x$.

3. 3

   Desarrollar y agrupar dentro del corchete. Este es el paso que decide la respuesta:

   $12x+(x-1)^{2}=12x+x^{2}-2x+1=x^{2}+10x+1$

   El $(x-1)^2$ no sobrevive como factor una vez que se le suma $12x$.

4. 4

   Armar la fracción y buscar un factor común.

   $\frac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}$

   ¿Dividiría $(x-1)$ a $x^2+10x+1$? Al evaluar en $x=1$: $1+10+1=12\neq 0$, así que por el teorema del factor no lo divide. No se cancela nada.

5. 5

   Escribir la forma simplificada.

   $\boxed{\dfrac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}}$

   válida para $x\neq 0$ y $x\neq -5\pm 2\sqrt6$ (las raíces de $x^2+10x+1$).

6. 6

   Comprobar numéricamente en un punto. En $x=3$ la original vale $\dfrac{12}{108+3(4)}=\dfrac{12}{120}=0.1$, y la forma simplificada da $\dfrac{6(2)}{3(9+30+1)}=\dfrac{12}{120}=0.1$. Coinciden, así que la factorización no introdujo ningún error.