Resuelve la inecuación compuesta 3818 ≤ 499x − 20y < 4018 − 2734 ≤ 33x − 78y < −2534.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplifica la constante escondida en medio de la cadena. El término $4018-2734$ no es en absoluto una expresión con variables, así que evalúalo antes que nada:

   $4018-2734=1284$

   La cadena queda ahora

   $3818 \le 499x-20y < 1284 \le 33x-78y < -2534$

2. 2

   Recuerda qué afirma en realidad una cadena de desigualdades. Una cadena escrita $p \le q < r \le s < t$ es la abreviatura de que todas las comparaciones vecinas se cumplen a la vez. Así que esta afirma por separado cuatro condiciones simultáneas:

   $3818 \le 499x-20y,\qquad 499x-20y < 1284,$
   $1284 \le 33x-78y,\qquad 33x-78y < -2534$

   Por eso hay que contrastar las constantes entre sí, y no solo resolver cada trozo para $x$ y $y$.

3. 3

   Contrasta los dos primeros eslabones entre sí. Los dos restringen la misma cantidad $499x-20y$:

   $3818 \le 499x-20y < 1284$

   Esto exige que un número sea al menos $3818$ y estrictamente menor que $1284$ al mismo tiempo. Como $3818 > 1284$, ningún valor real de $499x-20y$ puede lograrlo. El intervalo $[3818,\,1284)$ es vacío.

4. 4

   Contrasta los dos últimos eslabones del mismo modo. Los dos restringen $33x-78y$:

   $1284 \le 33x-78y < -2534$

   De nuevo la cota inferior supera a la superior, porque $1284 > -2534$. El intervalo $[1284,\,-2534)$ también es vacío.

5. 5

   Concluye con el conjunto solución vacío. Dos partes independientes de la cadena se contradicen, así que ninguna elección de $x$ e $y$ puede satisfacer el enunciado completo. No queda nada que despejar:

   $\{(x,y)\}=\varnothing$

   El hábito útil aquí: cada vez que una inecuación compuesta se escriba como una sola cadena larga, lee primero las cotas constantes. Si alguna cota inferior supera a la cota superior que tiene a su derecha, ya terminaste: no hace falta ningún álgebra con $x$ e $y$.