Resolver la desigualdad −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Eliminar ambos denominadores de una sola vez. Los denominadores son $3$ y $2$, así que se multiplica cada término por su m.c.m. $6$. Como $6>0$, el sentido de la desigualdad no se altera: esta es la manera segura de quitar las fracciones:

   $6\cdot\left[-\frac13(x-7)\right]\ge6\cdot\left[\frac12(3x+1)\right]$

   $-2(x-7)\ge3(3x+1)$

2. 2

   Distribuir en ambos lados.

   $-2x+14\ge9x+3$

   El $-2$ multiplica a ambos términos del paréntesis, y convierte el $-7$ en $+14$.

3. 3

   Reunir la variable de un solo lado. Restar $9x$ en ambos lados (sumar o restar nunca invierte el sentido):

   $-11x+14\ge3$

   y luego restar $14$:

   $-11x\ge-11$

4. 4

   Dividir entre el coeficiente negativo e invertir. Dividir ambos lados entre $-11$ invierte el sentido de la desigualdad:

   $x\le1$

   Esta única inversión de signo es toda la trampa del problema; mantener $\ge$ aquí daría exactamente la semirrecta equivocada.

5. 5

   Probar un punto a cada lado de la frontera. En $x=1$: lado izquierdo $=-\tfrac13(-6)=2$, lado derecho $=\tfrac12(4)=2$, así que hay igualdad ✓ (el extremo se incluye). En $x=0$: izquierdo $=\tfrac73\approx2.33$, derecho $=0.5$, y $2.33\ge0.5$ es verdadero ✓. En $x=2$: izquierdo $=-\tfrac53\approx-1.67$, derecho $=3.5$, y $-1.67\ge3.5$ es falso ✓. El conjunto solución es $(-\infty,1]$.