f(x) es un polinomio cúbico y (x + 1)f(x) deja resto x + 2 al dividirlo entre x³ + 2. Si f(0) = 4, halla f(2).

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe el algoritmo de la división. «Resto $x+2$ al dividir entre $x^3+2$» significa que existe un polinomio $Q(x)$ tal que

   $(x+1)f(x)=(x^3+2)Q(x)+x+2$

   Esta única identidad es todo el contenido de la hipótesis, así que lo demás se deduce de ella.

2. 2

   Determina el grado de $Q$. Como $f$ es cúbica, $(x+1)f(x)$ tiene grado $4$. El producto $(x^3+2)Q(x)$ debe aportar ese grado $4$, de modo que $\deg Q=1$. Escribe

   $Q(x)=ax+b$

   Por eso el problema tiene solución: solo quedan dos incógnitas.

3. 3

   Aprovecha el factor $x+1$ del lado izquierdo. El lado izquierdo se anula en $x=-1$, así que el derecho también debe anularse. Sustituyendo $x=-1$ en $(x^3+2)(ax+b)+x+2$:

   $(-1+2)(-a+b)+1=0\;\Longrightarrow\;b-a+1=0\;\Longrightarrow\;b=a-1$

4. 4

   Usa $f(0)=4$. Sustituyendo $x=0$ queda $(0+1)f(0)=4$ a la izquierda y $(0+2)(b)+0+2=2b+2$ a la derecha, de modo que

   $2b+2=4\;\Longrightarrow\;b=1\;\Longrightarrow\;a=2$

   Por lo tanto $Q(x)=2x+1$.

5. 5

   Evalúa en $x=2$. Con $Q$ ya conocido,

   $(2+1)f(2)=(2^3+2)(2\cdot 2+1)+2+2=10\cdot 5+4=54$

   así que $3f(2)=54$ y $f(2)=18$.

6. 6

   Comprueba recuperando $f$ de forma explícita. Al desarrollar, $(x+1)f(x)=2x^4+x^3+5x+4$. Dividiendo entre $x+1$ se obtiene

   $f(x)=2x^3-x^2+x+4$

   En efecto $f(0)=4$ y $f(2)=16-4+2+4=18$, y además $2x^4+x^3+5x+4-(x^3+2)(2x+1)=x+2$ exactamente.