Resuelve la desigualdad x/3 > 4 − (x − 2)/2 y da la solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplifica el lado derecho antes de mover nada. La resta afecta a la fracción entera, así que sepárala primero:

   $\frac{x-2}{2}=\frac{x}{2}-1,$

   y por lo tanto

   $4-\frac{x-2}{2}=4-\left(\frac{x}{2}-1\right)=4-\frac{x}{2}+1=5-\frac{x}{2}.$

   El error clásico es escribir $4-\frac{x}{2}-1=3-\frac{x}{2}$: el menos de delante también tiene que alcanzar al $-1$ y convertirlo en $+1$.

2. 2

   Reescribe la desigualdad con el lado derecho ya simplificado. El problema es ahora

   $\frac{x}{3}>5-\frac{x}{2}.$

   Ambos términos en $x$ tienen denominadores sencillos, así que sale más barato agruparlos que multiplicar todo por $6$ de entrada — las dos rutas funcionan, pero agrupar mantiene los números pequeños.

3. 3

   Agrupa los términos en $x$ a la izquierda. Suma $\frac{x}{2}$ a ambos lados y usa el común denominador $6$:

   $\frac{x}{3}+\frac{x}{2}=\frac{2x}{6}+\frac{3x}{6}=\frac{5x}{6},$

   con lo que la desigualdad queda

   $\frac{5x}{6}>5.$

   Sumar un término a ambos lados nunca cambia el sentido de una desigualdad, así que el $>$ se mantiene intacto.

4. 4

   Divide entre el coeficiente positivo. Al multiplicar ambos lados por $\tfrac{6}{5}$ (un número positivo, así que el signo no cambia):

   $x>5\cdot\frac{6}{5}=6.$

   En notación de intervalos la solución es $(6,\infty)$, con el $6$ excluido porque la desigualdad es estricta.

5. 5

   Prueba a cada lado de la frontera. En $x=6.1$: izquierda $=2.0333$, derecha $=4-\frac{4.1}{2}=1.95$, y $2.0333>1.95$ ✓. En $x=5.9$: izquierda $=1.9667$, derecha $=4-1.95=2.05$, así que la desigualdad falla ✓. En $x=6$ exactamente los dos lados valen $2$, lo que confirma que $6$ es la frontera y que está bien excluido.