Expresa el dominio de f(x) = (2x + 1)/(x⁴ − 5x² + 4) en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la única restricción. El numerador es un polinomio, definido en todas partes; la función falla solo donde el denominador se anula. Así que la tarea se reduce a resolver $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

2. 2

   Resuelve la bicuadrada con una sustitución. Solo aparecen potencias pares, así que toma $u = x^2$:

   $u^2 - 5u + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (u-1)(u-4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = 1 \text{ o } u = 4$

3. 3

   Regresa a x. Cada $u$ positivo da dos valores reales de $x$:

   $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1, \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2$

   Cuatro puntos excluidos en total — el máximo que puede producir un denominador de cuarto grado.

4. 4

   Quita los cuatro puntos y escribe los intervalos. Ordenados en la recta numérica, los valores excluidos son $-2, -1, 1, 2$, que cortan $\mathbb{R}$ en cinco pedazos:

   $(-\infty,-2) \cup (-2,-1) \cup (-1,1) \cup (1,2) \cup (2,\infty)$

5. 5

   Prueba un punto de cada intervalo. En $x = -3$: denominador $81 - 45 + 4 = 40 \ne 0$. En $x = -1.5$: $5.0625 - 11.25 + 4 = -2.1875$. En $x = 0$: $4$. En $x = 1.5$: $-2.1875$. En $x = 3$: $40$. Ninguno se anula, lo que confirma que los cinco intervalos están enteramente dentro del dominio.