Factoriza 4x²y + 12xy + 9y.

Step-by-step solution

1. 1

   Busca siempre un factor común primero. Todos los términos contienen exactamente una $y$ (y los coeficientes $4,12,9$ no comparten ningún factor más allá de $1$), así que $y$ es el máximo común divisor:

   $4x^2y+12xy+9y=y\left(4x^2+12x+9\right)$

   Saltarse este paso e intentar factorizar directamente el trinomio en dos variables hace que el problema parezca mucho más difícil de lo que es.

2. 2

   Comprueba si el paréntesis es un cuadrado perfecto. Un trinomio $A^2+2AB+B^2$ necesita que sus términos extremos sean cuadrados y que su término central sea el doble del producto de sus raíces. Aquí $4x^2=(2x)^2$ y $9=3^2$, así que comprueba el del medio:

   $2\cdot(2x)\cdot3=12x\ \checkmark$

   Coincide exactamente.

3. 3

   Escribe el cuadrado.

   $4x^2+12x+9=(2x+3)^2$

   Los dos signos son positivos, así que el binomio es una suma y no una diferencia. (Confirmándolo de forma independiente: el discriminante es $144-4(4)(9)=144-144=0$, la firma de una raíz doble.)

4. 4

   Combínalo con el factor común.

   $4x^2y+12xy+9y=y(2x+3)^2$

5. 5

   Lee lo que te dice la forma. Como $(2x+3)^2\ge0$ siempre, la expresión tiene el mismo signo que $y$, y se anula exactamente cuando $y=0$ o $x=-\tfrac32$. La raíz doble en $x=-\tfrac32$ significa que la parábola (para $y>0$ fijo) toca el eje ahí en vez de cruzarlo.

6. 6

   Verifica numéricamente. Comparar la original con $y(2x+3)^2$ en $50$ pares aleatorios $(x,y)$ tomados de $[-5,5]$ da coincidencia con precisión de máquina en todos los puntos ✓. Comprobación puntual en $x=1,y=2$: $8+24+18=50$, y $2(5)^2=50$ ✓.