Resuelve x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 1/10. Indica las restricciones sobre x y di si existe alguna solución real.

Step-by-step solution

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   Anotar primero las restricciones. Un denominador nunca puede ser cero, así que antes de cualquier manipulación algebraica conviene registrar

   $x\neq-100,\qquad x\neq-125.$

   Cualquier candidato que caiga en uno de estos valores tendría que descartarse al final, así que escribirlos ahora sale más barato que descubrir el problema después.

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   Combinar las dos fracciones sobre el común denominador $(x+100)(x+125)$. Multiplicando en cruz los numeradores:

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   Desarrollando cada producto por separado,

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500.$

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   Ver cómo el numerador se desploma hasta una constante. Los dos desarrollos difieren solo en el término constante, así que las partes $x^{2}$ y $125x$ se cancelan por completo:

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500.$

   La ecuación se reduce a

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   Este es el hecho estructural clave: el lado izquierdo es una constante sobre una cuadrática, y como $-2500<0$ el lado izquierdo solo puede ser positivo donde el denominador sea negativo, es decir, para $-125<x<-100$.

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   Multiplicar en cruz y formar la cuadrática. De $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$,

   $x^{2}+225x+37500=0.$

   El discriminante es

   $\Delta=225^{2}-4(1)(37500)=50625-150000=-99375<0,$

   así que la cuadrática no tiene raíces reales y la ecuación original no tiene solución real.

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   Dar las raíces complejas y confirmar la razón geométrica. Como $99375=625\cdot159$, se tiene $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$ y

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}.$

   Al sustituir cualquiera de las dos raíces se reproduce $\tfrac{1}{10}$ exactamente. La razón del fracaso en variable real: en $(-125,-100)$ el producto $(x+100)(x+125)$ tiene valor mínimo $-\left(\tfrac{25}{2}\right)^{2}=-156.25$, así que allí $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}\ge 16$, nunca tan pequeño como $0.1$.