Demuestre que kt + xy > ky + tx equivale a (k − x)(t − y) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Pase todo a un lado. Reste $ky$ y $tx$ a ambos lados para que la comparación quede contra cero:

   $kt-tx+xy-ky>0$

2. 2

   Agrupe los términos en parejas con factor común. Los dos primeros comparten $t$; los dos últimos comparten $y$:

   $t(k-x)+y(x-k)>0$

3. 3

   Haga idénticos los dos paréntesis. El segundo paréntesis es el opuesto del primero, ya que $x-k=-(k-x)$:

   $t(k-x)-y(k-x)>0$

   Detectar ese cambio de signo es todo el truco; sin él, la agrupación parece un callejón sin salida.

4. 4

   Extraiga el binomio común.

   $(k-x)(t-y)>0$

5. 5

   Enuncie la condición y compruébela. Un producto de dos números reales es positivo exactamente cuando los dos son positivos o los dos son negativos:

   $\left(k>x\ \text{y}\ t>y\right)\quad\text{o}\quad\left(k<x\ \text{y}\ t<y\right)$

   Pruebe con $k=4,t=3,x=1,y=2$ (las dos diferencias positivas): izquierda $=12+2=14$, derecha $=8+3=11$, y $14>11$ $\checkmark$, con $(3)(1)=3>0$ $\checkmark$. Pruebe con $k=1,t=3,x=4,y=2$ (signos mezclados): izquierda $=3+8=11$, derecha $=2+12=14$, así que la desigualdad falla $\checkmark$, en coherencia con $(-3)(1)=-3<0$.