Resuelve la ecuación cúbica 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Descarta las raíces racionales. Los candidatos son $\pm\tfrac{d}{e}$ con $d \mid 300$ y $e \mid 2$. Probando los negativos plausibles: $f(-3) = 3$, $f(-4) = -20$, $f(-5) = -25$, $f(-6) = -24$, $f(-10) = -200$, $f(-15) = -1725$. Ninguno se anula, así que factorizar y la división sintética son dos callejones sin salida; eso sí, el cambio de signo entre $-3$ y $-4$ nos dice que hay una raíz real en ese hueco.

2. 2

   Haz mónica la cúbica y redúcela. Dividir entre $2$ da $s^3 + \tfrac{33}{2}s^2 + 90s + 150 = 0$. La sustitución $s = y - \tfrac{a}{3}$ con $a = \tfrac{33}{2}$, es decir, $s = y - \tfrac{11}{2}$, elimina el término cuadrático. Usando $p = b - \tfrac{a^2}{3}$ y $q = \tfrac{2a^3}{27} - \tfrac{ab}{3} + c$:

   $p = 90 - \frac{1089}{12} = -\frac{3}{4}, \qquad q = \frac{1331}{4} - 345 = -\frac{49}{4}$

   así que la cúbica reducida es $y^3 - \tfrac{3}{4}y - \tfrac{49}{4} = 0$.

3. 3

   Calcula el discriminante para ver cuántas raíces reales hay.

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \frac{2401}{64} - \frac{1}{64} = \frac{2400}{64} = \frac{75}{2} = 37.5$

   Como $\Delta > 0$ hay exactamente una raíz real y un par conjugado de raíces complejas. Este es el caso en el que la fórmula radical de Cardano funciona con raíces cúbicas reales, sin necesidad del desvío trigonométrico.

4. 4

   Aplica la fórmula de Cardano. Con $-\tfrac{q}{2} = \tfrac{49}{8} = 6.125$ y $\sqrt{\Delta} = \sqrt{37.5} = 6.123724$:

   $y = \sqrt[3]{6.125 + 6.123724} + \sqrt[3]{6.125 - 6.123724} = \sqrt[3]{12.248724} + \sqrt[3]{0.001276}$

   Los dos radicandos son de tamaños radicalmente distintos — el segundo apenas supera el cero, porque $\Delta$ queda apenas por encima de $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2$ —, lo que da

   $y = 2.305138 + 0.108453 = 2.413591$

5. 5

   Deshaz el desplazamiento para volver a s y halla el par complejo. Con $s = y - \tfrac{11}{2}$, la raíz real es

   $s_1 = 2.413591 - 5.5 = -3.086409$

   Dividir $2s^3 + 33s^2 + 180s + 300$ entre $(s - s_1)$ deja $2s^2 + 26.827182s + 97.200344$, cuyas raíces son $s = -6.706796 \pm 1.902385\,i$.

6. 6

   Comprueba con Vieta. Las tres raíces deben sumar $-\tfrac{33}{2} = -16.5$: $-3.086409 + 2(-6.706796) = -16.500001$. Su producto debe ser $-\tfrac{300}{2} = -150$: $(-3.086409)\left(6.706796^2 + 1.902385^2\right) = (-3.086409)(48.60018) = -150.00$. Las dos cosas cuadran. (Una respuesta que se ve a menudo, pero es errónea, da la parte imaginaria como $\pm 0.484891$; ese par falla estrepitosamente la prueba del producto).