Hallar las soluciones reales de la ecuación (2x + 2)^(1/3) = −4.

Step-by-step solution

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   Leer el exponente como una raíz cúbica. Por definición $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$, así que la ecuación dice: la raíz cúbica de $2x+2$ es igual a $-4$. Un valor negativo del lado derecho es legítimo aquí, porque todo número real tiene exactamente una raíz cúbica real, incluidos los negativos.

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   Elevar ambos lados al cubo para deshacer la raíz. Elevar a la tercera potencia es la operación inversa de extraer la raíz cúbica:

   $\left((2x+2)^{1/3}\right)^3 = (-4)^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 = -64$

   Nótese que $(-4)^3 = -64$ conserva el signo, a diferencia de elevar al cuadrado, que lo destruiría.

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   Resolver la ecuación lineal resultante.

   $2x = -64 - 2 = -66 \quad\Longrightarrow\quad x = -33$

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   Verificar en la ecuación original. Al sustituir $x = -33$ se obtiene $2(-33) + 2 = -64$, y $(-64)^{1/3} = -4$, que coincide exactamente con el lado derecho.

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   Por qué no hace falta descartar soluciones extrañas. Elevar al cubo es una operación inyectiva sobre los números reales, así que no gana ni pierde soluciones. Esa es la diferencia clave con las ecuaciones con raíz cuadrada, donde elevar al cuadrado puede inventar soluciones que después hay que descartar. Aquí $x = -33$ es la única solución real.