Desarrolla y simplifica (x + 1)(x² − x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Distribuye el binomio sobre el trinomio. Separa $(x+1)$ en sus dos términos y multiplica cada uno por el segundo factor completo:

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1\cdot(x^2-x+1)$

2. 2

   Desarrolla cada pieza.

   $x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$

   $1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$

3. 3

   Suma y observa cómo se aniquilan los términos centrales.

   $x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   El $-x^2$ y el $+x^2$ se cancelan, y lo mismo pasa con $+x$ y $-x$. Cuatro de los seis términos desaparecen:

   $x^3+1$

4. 4

   Reconoce por qué la cancelación estaba garantizada. Esto es la identidad de la suma de cubos leída al revés:

   $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$

   Con $a=x$ y $b=1$ el segundo factor es $x^2-x\cdot 1+1^2=x^2-x+1$, exactamente lo que se dio. Los signos alternados de $a^2-ab+b^2$ son justamente lo que hace que se cancelen los términos cruzados: el factor no es $(x^2+x+1)$, que en cambio se emparejaría con $(x-1)$ para dar $x^3-1$.

5. 5

   Verifica con un valor. En $x=2$: la expresión original da $(3)(4-2+1)=3\cdot 3=9$, y $x^3+1=8+1=9$. ✓ En $x=-1$ los dos miembros dan $0$, coherente con que $x=-1$ sea la única raíz real de $x^3+1$.