Resuelve x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.093547 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee los tamaños de los coeficientes antes de hacer nada de álgebra. Para $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.093547=0$, las relaciones de Vieta dan una suma de raíces de $245.711$ y un producto de raíces de $-0.093547$. Una suma del orden de las centenas junto a un producto de unas pocas centésimas obliga a que haya una raíz grande y dos raíces cerca de cero, y cada grupo necesita su propia aproximación.

2. 2

   Halla las dos raíces pequeñas descartando $x^{3}$. Si $|x|$ es de apenas unas centésimas, entonces $x^{3}$ es del orden de $10^{-5}$, del todo despreciable al lado de $245.711x^{2}$. Al soltarlo queda la cuadrática $245.711x^{2}-2.764156x-0.093547=0,$ cuyo discriminante es $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.093547)=99.5826660603,\qquad \sqrt{D}=9.9791114865.$ La fórmula general da entonces $x\approx -0.014681792\quad\text{y}\quad x\approx 0.025931414.$

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   Refina esas dos con un paso de Newton. El término $x^{3}$ descartado desplaza cada raíz en la séptima cifra decimal, y aplicar el método de Newton $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ a la cúbica completa converge a $x=-0.014681475\qquad\text{y}\qquad x=0.025933162.$ Comparadas con las estimaciones cuadráticas, las correcciones son de solo $3.2\times 10^{-7}$ y $1.7\times 10^{-6}$, que es exactamente lo que prometía «soltar $x^{3}$»: el término despreciado era de tamaño $10^{-5}$ frente a un término $245.711x^{2}$ de tamaño $10^{-1}$.

4. 4

   Obtén la raíz grande de la suma de raíces, no de la fórmula de la cúbica. Como las tres raíces deben sumar $245.711$, $x_{\text{grande}}=245.711-\left(-0.014681475+0.025933162\right)=245.699748313.$ Sustituir este valor en $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.093547$ devuelve cero con doce cifras significativas.

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   Verifica con las dos relaciones de Vieta. Las tres raíces $-0.014681475$, $0.025933162$ y $245.699748313$ suman exactamente $245.711000000$ y multiplican a $-0.093547$, que coincide con $-c$ como se exige. La comprobación del producto es la que importa aquí: un par de raíces pequeñas puede estar mal y aun así satisfacer la suma, porque la raíz grande simplemente absorbe la diferencia; solo el producto delata el error.

6. 6

   Enuncia el conjunto solución. $x=-0.014681475,\qquad x=0.025933162,\qquad x=245.699748313.$ Las tres raíces son reales, coherente con una cúbica que cruza el eje una vez justo por debajo de cero, otra justo por encima y otra muy lejos, en $245.7$.