Simplifica (x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x − 1)³.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en que esta vez no hay ningún factor que sirva de atajo. A diferencia de la variante que termina en $2(x+1)^3$, aquí el último término es $2(x-1)^3$, así que $(x+1)$ no es factor de todos los términos. La vía fiable es desarrollar los cuatro productos y agrupar.

2. 2

   Desarrolla cada producto.

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $-2(x+1)^2(x-1)=-2\left(x^2+2x+1\right)(x-1)=-2\left(x^3+x^2-x-1\right)=-2x^3-2x^2+2x+2$

   $-(x+1)(x-1)^2=-\left(x^2-1\right)(x-1)=-\left(x^3-x^2-x+1\right)=-x^3+x^2+x-1$

   $2(x-1)^3=2\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=2x^3-6x^2+6x-2$

3. 3

   Suma los coeficientes cúbicos.

   $1-2-1+2=0$

   así que los términos en $x^3$ se anulan y el resultado es como mucho de segundo grado: la misma sorpresa estructural que en el problema hermano, alcanzada por otro camino.

4. 4

   Suma los coeficientes restantes. Para $x^2$: $3-2+1-6=-4$. Para $x$: $3+2+1+6=12$. Para las constantes: $1+2-1-2=0$. Por tanto

   $-4x^2+12x$

5. 5

   Factoriza y verifica.

   $-4x^2+12x=4x(3-x)=-4x(x-3)$

   En $x=1$: la expresión original vale $8-2(4)(0)-2(0)+0=8$, y $4(1)(2)=8\;\checkmark$. En $x=3$: la original vale $64-2(16)(2)-4(4)+2(8)=64-64-16+16=0$, y $4(3)(0)=0\;\checkmark$; la forma factorizada predice correctamente raíces en $x=0$ y $x=3$.