Halla el conjunto solución de la inecuación ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0, discutiendo todos los casos del parámetro a.

Step-by-step solution

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   Separar primero el caso degenerado a = 0. El coeficiente de $x^2$ es el propio parámetro, así que la inecuación no siempre es de segundo grado. Si $a = 0$ se reduce a una inecuación lineal:

   $-4x - 12 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x \le -3$

   Conjunto solución: $(-\infty, -3]$. En todos los casos restantes se supone $a \ne 0$.

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   Calcular el discriminante y notar que es un cuadrado perfecto. Para $a \ne 0$,

   $\Delta = (3a-4)^2 + 48a = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a+4)^2$

   Como $\Delta \ge 0$ para todo $a$ real, la cuadrática siempre tiene raíces reales: no hace falta ninguna rama de «sin raíces reales». Ese es el hecho estructural clave sobre el que está construido este problema.

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   Extraer las dos raíces de forma exacta.

   $x = \frac{4 - 3a \pm |3a+4|}{2a} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{8}{2a} = \frac{4}{a}, \qquad x_2 = \frac{-6a}{2a} = -3$

   Así que una raíz queda clavada en $x = -3$ para todo $a$, y la otra se desplaza con $a$. Por lo tanto

   $ax^2 + (3a-4)x - 12 = a(x+3)\left(x - \frac{4}{a}\right)$

   que al desarrollar vuelve a dar $ax^2 + 3ax - 4x - 12$: la expresión original.

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   Caso a > 0: la parábola se abre hacia arriba. Entonces $4/a > 0 > -3$, así que las raíces quedan ordenadas como $-3 < 4/a$ y la expresión es no negativa fuera de ellas:

   $x \le -3 \quad \text{o} \quad x \ge \frac{4}{a}, \qquad \text{es decir} \quad (-\infty,-3] \cup \left[\tfrac{4}{a}, +\infty\right)$

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   Caso a < 0: la parábola se abre hacia abajo, así que hay que comparar las raíces. Ahora la expresión es no negativa entre las raíces, y el orden de $-3$ y $4/a$ depende de $a$. Como $4/a = -3 \iff a = -\tfrac43$:

   $-\tfrac43 < a < 0: \ \ \frac4a < -3 \ \Longrightarrow \ \left[\tfrac4a,\, -3\right]$

   $a = -\tfrac43: \ \ \frac4a = -3 \ \Longrightarrow \ \{-3\} \ \ (\Delta = 0,\ \text{un solo punto})$

   $a < -\tfrac43: \ \ -3 < \frac4a \ \Longrightarrow \ \left[-3,\, \tfrac4a\right]$

   El caso intermedio se pasa por alto con facilidad: en $a = -\tfrac43$ las dos raíces se funden y el conjunto solución se reduce a un punto.

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   Reunir la respuesta completa.

   $a = 0:\ (-\infty,-3] \qquad a > 0:\ (-\infty,-3]\cup\left[\tfrac4a,\infty\right)$

   $a < 0:\ \left[\min\left(-3,\tfrac4a\right),\ \max\left(-3,\tfrac4a\right)\right]$

   Comprobación puntual con $a = 2$: la inecuación es $2x^2+2x-12 \ge 0$, es decir, $2(x+3)(x-2) \ge 0$, que da $x \le -3$ o $x \ge 2 = 4/a$, tal como se predijo.